Nekaj nalog za pripravo na teoretični izpit

1) Naj bo $V$ vektorski podprostor v $\mathbb{R}^n$ in $u\in \mathbb{R}^n$ fiksen vektor. Množica $u+V=\{u+v\colon v\in V\}$ je vedno vektorski podprostor v $\mathbb{R}^n$. DA/NE 

2) Naj bosta $U$ in $V$ vektorska podprostora v $\mathbb{R}^n$. Njuna vsota $U+V=\{u+v\colon u\in U,v\in V\}$ je tudi vektorski podprostor. DA/NE 

3) Naj bo $V$ vektorski podprostor v $\mathbb{R}^n$ z bazo $\{v_1,v_2,\ldots,v_k\}$. Množica $\{v_1+2v_2+\ldots+kv_k,v_2,\ldots,v_k\}$ je tudi baza za $V$. DA/NE

4) Če sta $S$ in $T$ taki podmnožici vektorskega podprostora $V$, da je vsak element iz $S$ linearna kombinacija elementov iz $T$ in obratno, potem sta linearni ogrinjači $\mathrm{Lin}(S)$ in $\mathrm{Lin}(T)$ enaki. DA/NE

5) Naj bo $V$ vektorski podprostor v $\mathbb{R}^n$ in $V^\perp$ njegov ortogonalni komplement. Obstaja neničelni vektor $v\in V\cap V^\perp.$ DA/NE

6) Ne obstajata kvadratni matriki $A$ in $B$, tako da velja $AB=0$ in $BA\neq 0$. DA/NE

7) Karakteristični polinom $p_A(\lambda)$ matrike $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$, ki zadošča $A^n=0$, je lahko oblike $p_A(\lambda)=(\lambda^2+1)q(\lambda)$ za nek polinom $q$. DA/NE

8) Naj bosta $A$ in $B$ kvadratni matriki. Velja $\ker A\subseteq \ker AB$. DA/NE

9) Naj bosta $A$ in $B$ kvadratni matriki, pri čemer $B\neq -A$. Velja $\mathrm{rang}(A+B)\geq \mathrm{rang} A$. DA/NE.

10) Naj bo $V$ vektorski podprostor v $\mathbb{R}^{10}$ z $\dim V=6$. Obstaja matrika $A\in \mathbb{R}^{10\times 10}$ za katero velja $\mathrm{rang} A=5$ in $V\subseteq \ker A$. DA/NE

11) Naj bo $A\in \mathbb R^{10\times 8}$ matrika. Če ima sistem $Ax=0$ eno samo rešitev, potem je $\mathrm{rang} A=8$. DA/NE

12) Naj bo $A\in \mathbb R^{n\times n}$ matrika ranga $n$. Obstaja neničelna matrika $B\in \mathbb R^{n\times n}$, da je $BA=0$. DA/NE

13) Obstaja kvadratna matrika $A$, ki zadošča $\mathrm{sl} A=0$ in $\mathrm{sl} A^2\neq 0$. (Tu $\mathrm{sl}$ označuje sled matrike.) DA/NE 

14) Naj bo $A\in \mathbb R^{2\times 2}$ kvadratna matrika, za katero za vsak vektor $v\in \mathbb R^n$ velja $v^T A v=0$. Potem je $A$ ničelna matrika. DA/NE

15) Naj bo $n>m$ in $A\in \mathbb R^{n\times m}$ matrika z neko vrstico brez ničel in nekim stolpcem brez ničel. Matrika $A$ se da zapisati tako kot vsota $m$ matrik ranga 1, kot vsota $n$ matrik ranga 1. DA/NE

16) Produkt dveh simetričnih matrik je vedno simetrična matrika. DA/NE

17) Obstaja neničelna matrika $A\in \mathbb R^{n\times n}$, za katero je $\det(2A)=2\det A$. DA/NE

18) Naj bo $A$ kvadratna diagonalizabilna $3\times 3$ matrika in $p_A(\lambda)=-\lambda^3+a\lambda^2+b\lambda+c$ njen karakteristični polinom. Potem je matrika $-A^3+aA^2+bA+cI$ ničelna matrika. DA/NE

19) Naj bo $A$ realna matrika velikosti $11\times 11$. Matrika $A$ ima gotovo vsaj eno realno lastno vrednost. DA/NE

20) Naj bosta $A, B\in \mathbb R^{n\times n}$ podobni matriki. Potem je $\ker A=\ker B$. DA/NE

21) Naj imata obe matriki $A, B\in \mathbb R^{n\times n}$ lastno vrednost 0. Potem ima lastno vrednost 0 tudi matrika $A+B$. DA/NE

22) Naj bodo $A\in \mathbb{R}^{m\times n},B\in \mathbb{R}^{n\times o},C\in \mathbb{R}^{o\times p}$ pravokotne matrike. Velja $\ker C\subseteq \ker(ABC)$ in $\text{im}(A)\subseteq \text{im}(ABC)$.

23) Naj bosta $A$ in $B$ realni kvadratni matriki. Matrika $AB^T-BA^T$ je diagonalizabilna. DA/NE

24) Naj $A$ pravokotna matrika in $A^+$ njen Moore-Penroseov inverz. Velja $\text{im}A^T= \text{im}A^+$. DA/NE

25) Naj bo $L_1: \mathbb{R}^n\to  \mathbb{R}^n$ surjektivna linearna preslikava, $L_2: \mathbb{R}^n\to  \mathbb{R}^n$ pa neka linearna preslikava, ki ni surjektivna. Preslikava $L_1+L_2$ je surjektivna. DA/NE

26) Naj bosta $L_1: \mathbb{R}^n\to  \mathbb{R}^n$ in $L_2: \mathbb{R}^n\to  \mathbb{R}^n$ surjektivni linearni preslikavi. Preslikava $L_2\circ L_1$ je surjektivna. DA/NE

27) Naj bo $L: \mathbb{R}^n\to  \mathbb{R}^n$ linearna preslikava. Množica $L(\mathbb R^n)$ je vektorski podprostor. DA/NE

28) Naj bo $Z$ vektorski prostor zgornje trikotnih matrik v $\mathbb R^{10}$, $S$ pa spodnje trikotnih matrik v $\mathbb R^{10}$. Množica $Z\cap S$ je vektorski podprostor. DA/NE

29) Obstaja realna matrika $A\in \mathbb R^{21\times 21}$, ki nima lastnih vektorjev. DA/NE

30) Za kvadratno matriko $A$ velja $\dim \ker(A-2I)=3$. Potem je njen karakteristični polinom oblike $(\lambda-2)^3q(\lambda)$ za nek polinom $q$. DA/NE

31) Za kvadratno matriko $A$ velja $\dim \ker(A-2I)=1$. Potem njen karakteristični polinom ne more biti oblike $(\lambda-2)^2q(\lambda)$ za nek polinom $q$. DA/NE

32) Naj bo $A$ kvadratna matrika velikosti $n\times n$ s karakterističnim polinomom $p_A(\lambda)=\lambda^3(\lambda-1)^2(\lambda-3)^5$. Možno je, da velja $n=15$. DA/NE

33) Naj bo $A$ kvadratna matrika velikosti $10\times 10$ s karakterističnim polinomom $p_A(\lambda)=\lambda^3(\lambda-1)^2(\lambda-3)^5$. Možno je, da je $\dim \ker(A-5I)\geq 1$. DA/NE

34) Naj bo $A\in \mathbb R^{10\times 10}$ matrika, da velja $\dim \ker(A-2I)=10$. Ni nujno, da je $A=2I$, kjer je $I$ identična matrika. DA/NE

35) Naj bosta $A$ in $B$ kvadratni matriki velikosti $2\times 2$. Naj bo karakteristični polinom matrike $A$ enak $p_A(\lambda)=\lambda(\lambda-1)$. Potem ima karakteristični polinom matrike $BA$ gotovo eno ničlo enako $\lambda=0$, nima pa nujno ničle $\lambda=1$. DA/NE

36) V 8-dimenzionalnem vektorskem prostoru $V$ obstajata 5-dimenzionalna podprostora $V_1,V_2$, tako da je $V_1\cap V_2$ trivialen podprostor. DA/NE

37) Naj bosta $U$ in $V$ 2-dimenzionalna podprostora v $\mathbb{R}^5.$ Vektorski podprostor $U+V$ je lahko enak $\mathbb{R}^5$. DA/NE

38) Matrika $A\in \mathbb{R}^{n\times n}$ je obrnljiva natanko tedaj, ko je $\ker A$ trivialen podprostor. DA/NE

39) Naj bo $L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ injektivna linearna preslikava. Obstajata taki bazi za $\mathbb{R}^n$ in $\mathbb{R}^m$, da jedro matrike, ki predstavlja $L$, vsebuje neničelni vektor. DA/NE

40) Naj bo $A\in \mathbb{R}^{n\times m}$ matrika. Naj enačba $Ax=b$ ne bo rešljiva za noben neničelni vektor $b\in \mathbb{R}^n$. Obstajata vsaj dve matriki $A$ s to lastnostjo. DA/NE

41) Naj ima matrika $A\in \mathbb{R}^{n\times m}$ dve identični vrstici. Potem je $\dim\ker A$ vsaj 1. DA/NE

42) Naj bosta dani kvadratni matriki $A$ in $B$, da velja $\det(A)=3$, $\det(B)=1$. Matrika $A+B$ je zagotovo obrnljiva. DA/NE

43) Obstaja taka kvadratna matrika $A$, da ima vsaj po eno lastno vrednost $1,-1,0$ in zadošča $A^2=A$. DA/NE

44) Naj bodo $u,v,w$ linearno odvisni vektorji v $\mathbb{R}^3$. Obstaja taka linearna preslikava $L:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^5$, da so vektorji $L(u), L(v), L(w)$ linearno neodvisni. DA/NE

45) Naj bo $A\in \mathbb{R}^{2\times 2}$. Iz $A^2=A$ sledi natanko ena od možnosti: $A$ je ničelna matrika ali pa je $A$ identična matrika. DA/NE

46) Naj bosta $\vec u, \vec v\in \mathbb R^3$. Gotovo velja $|\vec u\cdot \vec v|>\left\|u\times v\right\|$. DA/NE

47) Naj bosta $\vec u, \vec v\in \mathbb R^3$. Če velja $\left\|u\times v\right\|=0$, potem je $|\vec u\cdot \vec v|=\left\|u\right\|\left\|v\right\|$. DA/NE

48) Naj bo $A$ $3\times 3$ matrika z $\ker A\neq \{0\}$. Potem obstaja vektor $v\in \mathbb R^3$, da velja $v^T A=0$. DA/NE

49) Naj bosta $A$ in $B$ kvadratni matriki iste velikosti in naj bo $AB$ singularna matrika. Matrika $BA$ je lahko obrnljiva. DA/NE

50) Obstaja obrnljiva simetrična matrika $A$, za katero $A^{-1}$ ni obrnljiva. DA/NE

51) Stolpični prostor kvadratne matrike je enak njenemu vrstičnemu prostoru. DA/NE

52) Dimenzija stolpičnega prostora kvadratne matrike je enaka dimenziji njenega vrstičnega prostora. DA/NE

53) Obstaja $3\times 3$ matrika $A$, za katero imata jedro in sliko isto dimenzijo. DA/NE

54) Obstaja $4\times 4$ matrika $A$, za katero sta jedro in slika enaka. DA/NE

55) Fiksirajmo linearno neodvisne vektorje $v_1,v_2,v_3$ v $\mathbb R^4$. Do množenja s skalarjem obstaja samo en vektor $v_4$, da vektorji $v_1,v_2,v_3,v_4$ tvorijo bazo za $\mathbb R^4$. DA/NE

56) Obstaja simetrična matrika $A$ z lastnima vektorjema $\vec u,\vec v$ pri različnih lastnih vrednostih, da velja $\vec u\cdot \vec v>0$.