oma: Ortogonalne trajektorije

Poiščimo družino ortogonalnih trajektorij na družino krivulj

$y = ax^2$ . Najprej poiščemo diferencialno enačbo, ki ji zadošča družina (torej odvajamo levo in desno stran enačbe družine):

$y' = 2ax.$
Sedaj izrazimo

$a$ iz prve enačbe

$a = \frac{y}{x^2}$
in vstavimo v diferencialno enačbo. Tako dobimo zvezo:

$y' = 2\frac{y}{x^2}x = 2\frac{y}{x}.$

Sedaj v enačbi zamenjamo

$y'$ z

$-\frac{1}{y'}$ in rešimo dobljeno diferencialno enačbo:

$\begin{eqnarray} -\frac{1}{y'}&=&2\frac{y}{x} \\\\ y' &=& -\frac{x}{2y}\\\\ 2y dy &=& -x dx\\\\ \int 2y dy &=& \int -x dx\\\\ y^2 + C_1 &=& -\frac{1}{2}x^2 + C_2\\\\ y^2 + \frac{1}{2}x^2 &=& C\\\\ \frac{y^2}{C} + \frac{x^2}{2C}&=&1 \end{eqnarray}$

Rešitve diferencialne enačbe so torej elipse s polosema

$\sqrt{C}$ in

$\sqrt{2C}$ , kjer je

$C$ konstanta.

Последнее изменение: среда, 10 августа 2011, 10:20

Course Activities

Recent Courses