Poiščimo družino ortogonalnih trajektorij na družino krivulj \(y = ax^2 \). Najprej poiščemo diferencialno enačbo, ki ji zadošča družina (torej odvajamo levo in desno stran enačbe družine):
\[ y' = 2ax. \]
Sedaj izrazimo \(a\) iz prve enačbe
\[a = \frac{y}{x^2}\]
in vstavimo v diferencialno enačbo. Tako dobimo zvezo:
\[ y' = 2\frac{y}{x^2}x = 2\frac{y}{x}.\]

Sedaj v enačbi zamenjamo \(y'\) z \(-\frac{1}{y'}\) in rešimo dobljeno diferencialno enačbo:

\[\begin{eqnarray}
-\frac{1}{y'}&=&2\frac{y}{x} \\\\
y' &=& -\frac{x}{2y}\\\\
2y dy &=& -x dx\\\\
\int 2y dy &=& \int -x dx\\\\
y^2 + C_1 &=& -\frac{1}{2}x^2 + C_2\\\\
y^2 + \frac{1}{2}x^2 &=& C\\\\
\frac{y^2}{C} + \frac{x^2}{2C}&=&1
\end{eqnarray}
\]

Rešitve diferencialne enačbe so torej elipse s polosema \(\sqrt{C}\) in \(\sqrt{2C}\), kjer je \(C\) konstanta.
Last modified: Wednesday, 10 August 2011, 10:20 AM